Решить задачу Коши: y'x-2yy'=2x+y y1=0

1 Январь 0001



Решить задачу Коши: y’x-2yy’=2x+y y(1)=0

  • y?(x-2y)=2x+y

    y?=(2x+y) / (x-2y)

    Это однородное уравнение, разделим числитель и знаменатель на х:

              2+y/x

    y? = ———–  Замена: t=y/x , y=tx , y?=t?x+tx?=t?x+t

              1-2y/x 

    t?x+t=(2+t)/(1-2t)

             2t?+2          dx        (1-2t) dt

    t? = ———-    ,  —– = ————-

             x(1-2t)        x          2(t?+1)  

    Далее интегрируем, 

     1          dt             2t dt           dx

    —-(?———- - ?———-)= ?———

      2        1+t?         1+t?               x

     

     

    1/2(arctgt-2ln|1+t?|)=ln|x|+C

    y(1)=0 ? C=0

    1/2(arctg y/x – 2ln|1+y?/x?|)=ln|x|

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

      

     

     



     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     









Алгебра

Комментарии закрыты.