Решите систему :с

1 Январь 0001



Решите систему :с……

  • |x|+|y|=2; x^2+y^2=a
    Нет ли после а квадрата?
    В общем, первое уравнение с закрепленными переменными
    |y|=2-|x| => y=|2-|x||
    Чертим график этой функции
    График второй фукнции представляет собой окружность, с центром в точке (0;0) и радиусом sqrt(a)
    Для того чтобы система имела 4 решения, нужно, чтобы четверти окружности пересекали в двух точках (каждая положительная) график модуля
    Итак, при а=4 - 3корня
    при а>4 - два корня
    при а<4 будет либо 4 корня, либо не будет корней
    Находим вторую границу искомого интервала
    Перед нами прямоугольный треугольный со сторонами 2,2,х
    находим икс
    x=sqrt(4+4)=2sqrt2
    Из второго координатного угла проводим перепендикуляр к гипотенузе
    Он равен 
    x=sqrt(4-2)=sqrt(2)
    Значит, вторая гранийа - sqrt2
    Итак, при a=2, a=4 - 4 решения
    при a<2 - нет решений
    при 2
  • Вначале рассмотрим функцию IxI+IyI=2
    Она легко строится если рассмотреть отдельно все четыре квадрата в системе координат.
    В первом квадранте х>0, y>0 следовательно х+у=2 или у=2-х
    Во втором квадранте x<0, y>0 следовательно -х+у=2 или у=х+2
    В третьем квадранте х<0, y<0  следовательно -x-y=2 или у=-х-2
    В четвертом квадранте x>0, y<0 следовательно x-y=2 или y=x-2
    Получили квадрат с координатами (2;0);(0;2);(-2;0);(0;-2)
    Сторона квадрата равна 2*корень(2)
    Вторая линия x^2+y^2 =a -это окружность с центром(0;0) и радиусом
    R=корень(a)
    Теперь самое главное.
    Легко показать на графике что минимальное а при котором будет четыре решения этой системы когда окружность будет вписаной и касаться квадрата в четырех точках.
    Найдем радиусэтой окружности. Он равен R = 2*корень(2)/2= корень(2)
    Следовательно можно записать корень(а) =корень(2) или а=2
    Поэтому минимальное значение а при котором система имеет четыре решения равно 2 или а=2
     
       






Алгебра

Комментарии закрыты.