Сколько целочисленный решений имеет неравенствоx в 4ой степени больше 9x

1 Январь 0001



сколько целочисленный решений имеет неравенство

x в 4ой степени больше 9x

  • x^4>9x   x(x^3-9)>0

    x>0

    x^3>9 реешние все целые числа большие 2

     

    x<0

    x^3<9 решением является все отрицательные целые числа

    очевидно в вопросе ошибка по идее меньше 9х

  • 0′ alt=’x^4-9*x>0′ align=’absmiddle’ class=’latex-formula’>

     

    0′ alt=’x*(x^3-9)>0′ align=’absmiddle’ class=’latex-formula’>

     

    Раскладываем вторую скобку по формуле разности кубов

     

    0′ alt=’x*(x-9^{frac{1}{3}})*(x^2+9^{frac{1}{3}}*x+9^{frac{2}{3}})>0′ align=’absmiddle’ class=’latex-formula’>

     

    Заметим, что неполный квадрат в третьей скобке всегда положителен

     

    Докажем это

     

     

     

     

    Так как квадраты не могут быть отрицательными.

     

    Значит можно рассмотреть неравенство методом интервалов.

     

    1) При х<0 первый множитель будет меньше нуля, второй тоже меньше нуля. Два множителя меньше нуля дадут положительное число. А третий будет положительным. Значит все выражение в левой части будет положительным.

     

    2) При Первый множитель будет больше нуля, второй меньше нуля, а третий как всегда положителен. Отрицательный множитель помноженный на положительные множители даст в итоге отрицательное число.

     

    3) 9^{frac{1}{3}}’ alt=’x>9^{frac{1}{3}}’ align=’absmiddle’ class=’latex-formula’>

     

    Первый множитель будет положителен, второй тоже положителен. А третий как всегда положителен. Значит в итоге, перемножив три положительных числа, получим положительное число.

     

    В ответе получим два промежутка из первого и третьего случаев.

     

     

    Заметно, что целочисленных решений будет бесконечно много. Это и все отрицательные целые числа и целые числа большие 2. Так как

     

    Решений, так сказать, счетное множество.

     

    Ну, а если бы был бы в неравенстве противоположный знак, то было бы всего два решения из второго случая. Это числа 1 и 2.

     







Алгебра

Комментарии закрыты.