Через середину К медианы ВМ треугольника АВС и вершину А проведена прямая, пересекаюшая сторону ВС в точке Р. Найдите отношение площади треугольника В

1 Январь 0001



Через середину К медианы ВМ треугольника АВС и вершину А проведена прямая, пересекаюшая сторону ВС в точке Р. Найдите отношение площади треугольника ВКР к площади треугольника АМК. Объясните!

  • Первое, что надо сделать – найти отношение ВР/СР;

    Есть очень много способов, я применяю тот, который используется при доказательстве теоремы Чевы. Через вершину В проводится прямая II АС. АР продолжается за точку Р до пересечения с этой прямой в точке Е.

    Итак, ВЕ II AC;

    Треугольники ЕВК и АКМ подобны (у них углы равны), поэтому ЕВ/АМ = ВК/КМ; в даном случае ВК/КМ = 1, и ЕВ = АМ; (то есть эти треугольники просто равны).

    Отсюда ЕВ = АС/2; (ВМ – медиана)

    Треугольники ЕВР и АСР тоже подобны по тому же признаку, поэтому ВР/СР = ЕВ/АС = 1/2;

    Итак, СР = ВС*2/3; и, соответственно, площадь треугольника АСР

    Sacp = S*2/3; (S – площадь треугольника АВС).

    Поскольку площадь треугольника ВАМ равна половине площади АВС, а площадь АКМ равна половине АВМ, то

    Sakm = S/4;

    Таким образом, площадь четырехугольника КРСМ равна

    Skpcm = Sacp – Sakm = S*(2/3 – 1/4) = S*5/12;

    Ответ 12/5;







Геометрия

Комментарии закрыты.