Дан треугольник АВС, площадь которого равна 1. На медианах АК, ВL, СN треугольника АВС взяты соответственно точки Р, Q, R так, что АР/РК=1- ВQ/QL=1/2-

1 Январь 0001



Дан треугольник АВС, площадь которого равна 1. На медианах АК, ВL, СN 
треугольника АВС взяты соответственно точки Р, Q, R так, что АР/РК=1; ВQ/QL=1/2; CR/RN=5/4. Найти Spqr



  • Для начало, здесь нужно просто знать свойства медиан в треугольнике , особенно те ,в которых проведены все три медианы.
    1.Допустим то что медианы треугольника пересекаются в одной точке,
    и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины
    2.То что при пересечений всех трех медиан треугольник разбивается на шесть равновеликих треугольника

    РЕШЕНИЕ:
    С начало все распишу что дано 
    АР/РК=1; ВQ/QL=1/2; CR/RN=5/4; S(ABC)=1 ;  S(PQR)=?

    Обозначим: 
    AP=z;  PK=z ; => AK=2z
    BQ=x;  QL=2x; => BL=3x
    CR=5y; RN=4y; => CN=9y



    Теперь как я сказал медианы делятся в отношений 1:2 считая от вершины , тогда:
    BO=2BL/3;
    AO=2AK/3;
    CO=2CN/3;



    Нам нужно просто найти какую часть составляет треугольник  S(PQR)/S(ABC)=?
    По рисунку еще видно что треугольники, под одним углом.
    Из всех соотношений, можно найти 
    OQ=BO-BQ=2BL/3-BL/3 = BL/3
    OP=AO-AP=2AK/3-AK/2 =AK/6
    OR=CO-CR=2CN/3-5CN/9=CN/9 

    по определению площадь треугольника равна S=(a*b*sina)/2.
    так как площади треугольник  S(AOB)=S(BOC) 
    то площадь треугольник S(AOB)/S(ABC)=1/3
    тогда найдем  площадь треугольника 
    S(POQ)/S(AOB)=((AK/6)*(BL)/3*sina) /((2BL/3)*(2AK/3)*sina)= 1/8
    значит оно составляет от площади S(AOB)=1/8*1/3=1/24  часть
    так же другие S(QOR)=1/36  ; S(POR)=1/72 
    значит S(PQR)=1/36+1/72+1/24=1/12 









Геометрия

Комментарии закрыты.