Доказать, что плоскость, проходящая через концы трех ребер куба, выходящих из одной его вершины, перпендикулярна диагонали куба, выходящей из той же в

1 Январь 0001



Доказать, что плоскость, проходящая через концы трех ребер куба, выходящих из одной его вершины, перпендикулярна диагонали куба, выходящей из той же вершины куба, и отсекает от него третью часть.

  • Если взять куб ABCDA1B1C1D1, то фигура с вершинами A1BC1D – правильный тетраэдр. Поэтому проекция точки С1 на плоскость A1BD – это центр правильного треугольника A1BD – пусть это точка Q1. 

    У пирамиды AA1BD основание A1BD – правильный треугольник, и все боковые ребра равны (это ребра куба). Поэтому проекция точки A на плоскость A1BD – это центр правильного треугольника A1BD – точка Q1. Поскольку есть только одна прямая, перпендикулярная плоскости A1BD и проходящая через заданную точку  Q1 – центр треугольника A1BD, то AC1 перпендикулярно A1BD.

    что и требовалось доказать.

    Если провести еще одну плоскость – B1D1C, то она тоже перпендикулярна AC1 (доказывается точно так же, пусть центр треугольника B1D1C – точка Q2), то есть параллельна плоскости BDA1.

    Поэтому эти две плоскости (поскольку они параллельны) отсекают на разных прямых пропорциональные отрезки. То есть AQ1/Q1Q2 = AM/MC (М – центр грани ABCD) и Q1Q2/Q2C1 = A1M1/M1C1 (М1 – центр грани A1B1C1D1).

    Поэтому плоскости A1BD и B1D1C делят AC1 на три равных отрезка.

    что и требовалось доказать.  







Геометрия

Комментарии закрыты.