Около треугольника ABC, стороны которого AB = 6, BC = 5, AC = 7, описана окружность. Точка B делит дугу окружности FG пополам, а хорда FG пересекает

1 Январь 0001



Около треугольника ABC, стороны которого AB = 6, BC = 5, AC = 7, описана окружность. Точка B  делит дугу окружности FG пополам, а хорда FG пересекает стороны AB и BC  в точках C1 и A1 соответственно, причем AC1 : C1B= 2 : 1. Найдите площадь четырехугольника AC1A1C.

  • См чертеж. О – центр описанной окружности, ВМ – диаметр, перпендикулярный FG (из за равенства дуг FB и BG), N – середина FG.
    Треугольники ВС1N и BAM подобны (прямоугольные с общим острым углом), поэтому BN/BC1 = BA/MB; или BN*MB = BC1*BA;
    точно так же из подобия BNA1 и BCM BN*MB = BA1*BC; 
    можно, конечно, теперь начать вычислять отрезки, а можно заметить, что получилось BC1/BC = BA1/BA = 2/5; (ясно, что ВС1 = 2); то есть треугольники АВС и А1ВС1 подобны с коэффициентом подобия 2/5; 
    (Это довольно полезная штука, можно и запомнить – прямая, перпендикулярная радиусу описанной окружности, проведенному в вершину треугольника, отсекает от треугольника ему же подобный треугольник.)
    Если обозначить площадь АВС как S, то площадь A1BC1 равна S*(2/5)^2;
    а площадь четырехугольника AC1A1C равна S*(1 – (2/5)^2) = 21*S/25;
    Остается найти площадь АВС по формуле Герона (например), она равна 6v6
    (повторю из предыдущей задачи
    p = (5 + 6 + 7)/2 = 9; p – 5 = 4; p – 6 = 3; p – 7 = 2; 
    S^2 = 9*4*3*2; S = 6
    v6;)
    Ответ 126v6/25;








Геометрия

Комментарии закрыты.