Периметр равнобочной трапеции описанной около круга равен р а угол между основаниями и боковой стороной – а . найдите площадь этого круга

1 Январь 0001



периметр равнобочной трапеции описанной около круга равен  р а угол между основаниями  и боковой стороной – а . найдите площадь этого круга

  • В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противолежащих сторон равны.


    Трапеция – четырехугольник, и, поскольку в нее вписана окружность, сумма оснований равна сумме ее боковых сторон.

    В равнобедренной трапеции высота делит большее основание на два отрезка, из которых больший равен полусумме оснований, а меньший – их полуразности.


    Периметр трапеции АВСД равен р
    Следовательно,
    сумма боковых сторон равна р:2,
    сумма оснований равна р:2.
    Опустим высоту ВН.



    Отрезок НД большего основания равен полусумме оснований и равен (р:2):2=р:4
    Боковая сторона АВ равна половине полупериметра трапеции и равна
    :2):2=р:4
    Из прямоугольного треугольника АВН найдем высоту ВН:
    ВН=АВ·sin (?)=(р:4)·sin (?)=(р·sin ?):4


    Площадь трапеции равна произведению высоты на полусумму оснований.




    S АВСД=ВН·НД=(р:4)(р·sin (?):4)=(р?·sin ?):16 ( единиц площади)

     

    Площадь круга, вписанного в эту трапецию, находим по формуле

    S=?r?

    Высота трапеции – диаметр этого круга.

    Соответственно, его радиус – половина высоты трапеции,
    r= ВН:2=(р·sin ?):8
    а  площадь
    S=  ?·{р·sin? }?:64 ( единиц площади). 









Геометрия

Комментарии закрыты.