Построить ромб, зная его сторону и отношение диагоналей. Задача на построение, у меня с ними проблемы, буду благодарна за чертеж и объяснения

1 Январь 0001



Построить ромб, зная его сторону и отношение диагоналей.
Задача на построение, у меня с ними проблемы, буду благодарна за чертеж и объяснения.

  • Это логически очень простая задача. К сожалению, в условии есть маленькая засада.

     

    Сначала надо построить КАКОЙ-ТО ромб с заданным отношением диагоналей q. (засада именно тут*)).

    ПРЕДПОЛОЖИМ (см. примечание), что есть два отрезка длины a и b, таких, что b/a = q. (или – то же самое – заданы отрезки длины 1 и q). Тогда на двух перпендикулярных линиях (их легко построить) от точки пересечения в обе стороны надо отложить отрезки a и b, и соединить. 

    (В координатном представлении это означает, что берутся четыре точки на осях с координатами (-a, 0), (0, b), (a, 0), (0, -b) и соединяются последовательно.

    Еще это можно так сформулировать – надо постороить прямоугольный треугольник с катетами a и b – задача из учебника, четыре таких треугольника, приставленные катетами друг к другу, образуют ромб с отношением диагоналей b/a). 



    Получился ромб, подобный нужному.

    Теперь от любой вершины надо отложить по обеим сторонам, выходящим из этой вершины, отрезки длины L, и через полученные точки провести прямые параллельно противоложным сторонам ромба до пересечения. (Даже можно не строить параллельные, а провести окружности радиусом L с центрами в этих точках, точка пересечения этих окружностей и будет четвертая вершина ромба).

    Получился ромб со стороной L и нужным отношением диагоналей.

     

    *) Примечание.



    На самом деле в общем случае это нетривиальная задача – если задан отрезок длины a и какое-то число q, построить отрезок длины  b = aq. К примеру, я понимаю, что когда q – рациональное число, q = m/n, где m и n – целые, то построение такого отрезка делается с помощью теоремы Фаллеса – на двух лучах из одной точки (да хоть на тех же осях) откладываются отрезки равной длины, по одному лучу n раз, по второму m, конечные точки соединяются, по второму лучу откладывается отрезок a и проводится прямая II линии соединения. Она отсекает на втором луче отрезок длины b = am/n.

    В принципе (это АБСОЛЮТНО  верное утверждение :)) для любого действительного числа q можно создать предельную процедуру, то есть последовательность рациональных m/n -> q. Проблема в том, что такая процедура требует БЕСКОНЕЧНОГО ЧИСЛА ПОСТРОЕНИЙ. В некоторых – частных – случаях, например, если q – алгебраическое иррациональное число, построение делается с использованием какого-нибудь геометрического объекта, содержащего нужное отношение. Например, при q = v2, нужный отрезок является диагональю квадрата со стороной a. Но построить уже отрезки, отношение которых равно ? – В ПРИНЦИПЕ невозможно ЗА КОНЕЧНОЕ ЧИСЛО ДЕЙСТВИЙ. Это – так называемая “квадратура круга”.

    Поэтому условие задачи следует понимать именно так – если ЗАДАНЫ какой-то отрезок длины a и какой то отрезок длины aq, надо построить ромб со стороной L и отношением диагоналей q. 

    Или можно еще так сформулировать – задано ТРИ отрезка a, b и L, надо построить ромб со стороной L и отношением диагоналей b/a. Это – совершенно корректная постановка (или – эквивалентно – можно задать отрезок длины 1 и длины q).

    Если же кто-то хочет по заданному числу q построить два отрезка с отношением длин q, то В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ эта задача не решается В ПРИНЦИПЕ.



     









Геометрия

Комментарии закрыты.