Решение выкладывайте с подробным объяснением В правильной четырехугольной пирамиде SABCD все ребра равны 1.Найдите угол между плоскостями ABG и CDF, г

1 Январь 0001



Решение выкладывайте с подробным объяснением)



 

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD все ребра равны 1.Найдите угол между плоскостями ABG и CDF ,где  F -средина ребра SB ,а G-середина ребра SC.

 

Ответ: 

  • сечениями будут равнобокие трапеции, причем равные…

    ребро пирамиды обозначим (а) а = 1

    боковые грани пирамиды —правильные треугольники…

    одно основание трапеции = ребру пирамиды = а,

    второе основание (меньшее) = средней линии боковой грани пирамиды = а/2



    боковая сторона трапеции = медиане боковой грани пирамиды = а*V3 / 2

    (высота трапеции)^2 = (а*V3 / 2)^2 – (a/4)^2 = 3a^2 / 4 – a^2 / 16 = 11a^2 / 16

    высота трапеции = a*V11 / 4

    если обозначить пересечение CF и BG как Е (и на противоположной грани пирамиды симметричную точку обозначить Е1), то ЕЕ1 —линия пересечения плоскостей

    ЕЕ1 || AB || CD

    угол между плоскостями —угол между перпендикулярами к ЕЕ1, лежащими в этих плоскостях (угол между отрезками высот трапеций),

    причем этот угол —угол при вершине O треугольника GOH, где точка О лежит на ЕЕ1, GO _|_ EE1, OН _|_ EE1, GO+OH = высоте трапеции, GH = а*V3/4

     

    точка Е —пересечение медиан равностороннего треугольника (боковой грани пирамиды) => точка Е разбивает медианы (а это боковая сторона трапеции…) в отношении 2:1, считая от вершины треугольника => и высота трапеции разбивается прямой ЕЕ1 на отрезки в отношении 2: 1, т.е. GO:OH = 1:2, т.е. OH = 2GO

    GO = (a*V11 / 4) / 3 = a*V11 / 12

    OН = 2*(a*V11 / 12) = a*V11 / 6

    по т.косинусов из треугольника GOH

    (GН)^2 = OH^2 + GO^2 – 2*OH*GH*cos(GOH)



    3a^2 / 16 = 11a^2 / 36 + 11a^2 / 144 – (11a^2 / 36)*cos(GOH)

    3a^2 / 16 – 11a^2 / 144 = (11a^2 / 36)*(1-cos(GOH))

    1-cos(GOH) =  16a^2 / 144 : (11a^2 / 36) = 4/11

    cos(GOH) = 1 – 4/11 = 7/11

    искомый угол = arccos(7/11)

     









Геометрия

Комментарии закрыты.