Точка О – точка пересечения биссектрис треугольника АВС. Прямая ВО пересекает описанную около треугольника АВС окружность в точке S. Найти длину отрез

1 Январь 0001



Точка О – точка пересечения биссектрис треугольника АВС. Прямая ВО пересекает описанную около треугольника АВС окружность в точке S. Найти длину отрезка ОS, если АС=sqrt(3+sqrt3), угол В=30 градусов, угол С=45 градусов.

  • Вписанный угол в 30°
    опирается на хорду, равную радиусу, а вписанный угол в 45° – на хорду,
    стягивающую дугу в 90°, т.е. равную стороне вписанного в окружность квадрата.
    Поэтому, если обозначить АС = b = v(3 + v3), то радиус описанной около АВС окружности R
    = b; а АВ = b*v2;
    Более того, точка S делит дугу АС (равную 60°) пополам (ВО – биссектриса), поэтому хорда SB
    стягивает дугу 90° + 30° = 120°, то есть BS = b*v3;
    Все
    это очень хорошо, но найти надо OS, а для этого надо найти положение центра
    вписанной окружности.
    Если
    внимательно посмотреть на приложенный рисунок, то можно заметить несколько
    интересных особенностей этой конструкции. Если Q – центр описанной окружности, а
    К – точка пересечения QA и BS, то QC II BS (простым сравнением углов). Поскольку
    треугольник QAC равносторонний, то

    CP = QK, АР = КР = АК = b – QK;

    легко видеть, поскольку угол KBQ =
    30°, что QK = b/v3; и ВК = 2*QK = b*2/v3; а BS = 3*QK (!).
    Теперь надо вычислить и ВР, и ВО, и СВ.

    Для упрощения вычислений я введу несколько
    простых обозначений.
    Пусть QK = u; ВС = a; AB = c; BP = ? – длина биссектрисы;
    y = BO; x = OP;

    Тогда ? = BK + KP = 2*u + (b – u) = b + u;

    a/c = u/(b – u); a =
    c*u/(b – u);

    По свойству биссектрисы y/x = (a + c)/b;

    y/x = (c + c*u/(b – u))/b
    = c/(b – u);

    y + x = ? = b + u;

    y = c*(b + u)/(c + b –
    u);

    Теперь сюда можно подставить значения u = b/v3; c = b*v2;

    Получается BO
    = y = b*v2*(v3 + 1)/(v6
    + v3 – 1);

    OS = BS – BO = b*(v3
    - v2*(v3 + 1)/(v6 + v3 – 1)) = v(3 + v3)*(v3 – v2*(v3 + 1)/(v6 + v3 – 1));

    Я не буду искать упрощения этого выражения –
    подстановка в Excel и в Maple ничего не
    дала, так что это скорее всего бесполезно.
    Ну, и хочется обратить внимание на то, что координатный метод тут просто сам просится – О это точка пересечения двух прямых СМ и BS, проходящих через точки с известными координатами, после определения координат точки О из соответствующей системы 2 линейных уравнений надо найти расстояние от O до S, координаты которой тоже известны.
    Для любителей комплексных переменных – отдельно - координаты точки О вычисляются очень легко :)







Геометрия

Комментарии закрыты.