Точки с координатами А0,2,4, B2,2,4, C2,4,2, D0,4,2.Нужно с помощью векторов доказать, что ABCD-квадрат

1 Январь 0001



Точки с координатами А(0,2,4), B(2,2,4), C(2,4,2), D(0,4,2).
Нужно с помощью векторов доказать,что ABCD-квадрат

  • ABCD – не квадрат, а прямоугольник!!!

     

    Общее правило:

    Если заданы точки A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2)то вектор AB задается выражением

    AB=(x2-x1)i+(y2-y1)j+(z2-z1)k

    квадрат длины вектора (AB)^2=(x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2

     

    Для заданных в задаче точек, векторы сторон

    AB=2i+0j+0k



    BC=0i+2j-2k

    DC=2i+0j+0k

    AD=0i+2j-2k

    квадраты их длин

    (AB)^2=4+0+0=4

    (BC)^2=0+4+4=8     (!!!)

    (DC)^2=4+0+0=4

    (AD)^2=0+4+4=8     (!!!)

     

    а длины

    AB=2

    BC=2*sqrt(2)     (!!!)

    DC=2

    AD=2*sqrt(2)     (!!!)



    а у квадрата все стороны равны!

    Значит, ABCD-не квадрат!

     

    Определить, что ABCD – прямоугольник можно доказав, что углы между векторами в каждой вершине – прямые, т.е. =90 градусов (векторы перпендикулярны друг другу).

     

    Для этого нужно вычислить скалярное произведение этих векторов, если оно =0, значит векторы перпендикулярны и угол между ними – прямой.

     

    Проверим это

    (AB*BC)=2*0+0*2-0*2=0

    (BC*СD)=0*2+2*0-2*0=0

    (CD*AD)=2*0+0*2-0*2=0

    (AD*AB)=0*2+2*0-2*0=0

     

    Все верно, все углы прямые, ABCD – прямоугольник (но не квадрат).

     

     










Геометрия

Комментарии закрыты.