Три окружности, попарно касающиеся друг друга внешним образом, имеют радиусы 2 см, 2 см, 1см. Найдите радиусы окружностей, касающихся данных трех окру

1 Январь 0001



Три окружности, попарно касающиеся друг друга внешним образом, имеют радиусы 2 см, 2 см, 1см. Найдите радиусы окружностей, касающихся данных трех окружностей.

  • Если соединить центры окружностей, получится равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС = 4 и боковыми сторонами АС = АВ =3. Центры обеих окружностей (не заданных, а которые надо найти) лежат на оси симметрии этого треугольника, то есть на высоте к основанию АМ, где М – середина ВС. Заранее неизвестно, различные это точки или нет.
    Сразу замечу, что АМ = v5;
    1. Если окружность радиуса R с центром в точке О (лежащем на упомянутой высоте :) ) касается внешне всех трех окружностей, то точки касания лежат на соответствующих линиях центров, то есть на прямых ОА, ОВ и ОС. 
    Отсюда OA = R – 1; OB = OC = R – 2;  
    То есть в треугольнике АВС на высоте АМ = v5 надо найти точку О, такую, что ОА = R – 1; OB = R – 2; и заодно найти R. 
    Ясно, что
    МО = АМ – ОА = 
    v5 – (R – 1); OB = (R – 2); BM = 2; и MO^2 + MB^2 = OB^2;
    то есть (
    v5 + 1 - R)^2 + 2^2 = (R – 2)^2; это даже не квадратное уравнение – члены с R^2 сокращаются. 
    R = (v5 + 1)^2/(2*(v5 – 1)) = (v5 + 1)^3/8 = v5 + 2;
    интересно, что О лежит СНАРУЖИ АВС.
    2. Если окружность радиуса r с центром в точке О1 (лежащем на упомянутой высоте :) ) касается внутренне всех трех окружностей, то точки касания лежат на соответствующих линиях центров, то есть на прямых О1А, О1В и О1С. 
    Отсюда O1A = r + 1; O1B = O1C = r + 2;  
    То есть в треугольнике АВС на высоте АМ = v5 надо найти точку О1, такую, что О1А = r + 1; O1B = r + 2; и заодно найти r. 
    Ясно, что 
    МО1 = АМ – О1А = v5 – (r + 1); O1B = (r + 2); BM = 2; и MO1^2 + MB^2 = O1B^2;
    то есть (v5 – 1 - r)^2 + 2^2 = (r + 2)^2; это опять таки не квадратное уравнение. 
    r = (v5 – 1)^2/(2*(v5 + 1)) = (v5 – 1)^3/8 = v5 – 2;
    О1 лежит (конечно же) внутри АВС, и видно, что OA не равно О1А, то есть центры этих окружностей не совпадают. 








Геометрия

Комментарии закрыты.