В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 точки E , K и L – середины ребер AA1,CD и B1C1 соответственно, а точки M иN расположены соответственно на от-резках E

1 Январь 0001



В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 точки E , K и L – середины ребер  AA1 ,CD и  B1C1 соответственно, а точки M иN расположены соответственно на от-резках EK и LK так, чтоEM :MK = 2 :3 , а LN : NK =1: 4 . Найди-те длину отрезка МN.



  • Треугольник KLM равносторонний, его стороны 
    a^2 = 1^2 + (1/2)^2 + (1/2)^2 = 3/2; a = v(3/2);
    Точка Р – пересечение продолжений MN  и EL; еще пусть MQ II EL; (Q лежит на KL) и ТЕ II EK; К лежит на EL;
    Ясно, что LN = NT = TL = a/5; при этом LQ = a*(2/5); 
    (потому что LQ/QL = EM/MK =2/3; то есть LQ/LK = 2/(2 + 3) = 2/5;)
    То есть NQ = LQ – LN = a/5 = LN; 
    Следовательно, треугольники MQN и LNP равны (стороны и углы при них равны)
    и LP = MQ, а MN = NP;
    MQ легко вычислить MQ/EL = MK/EK = 3/5; то есть MQ = a*(3/5);
    Таким образом, получилось вот что MN = NP = a*(3/5);
    Теперь надо провести из точки N перпендикуляр к EL. Пусть его основание Н.
    Ясно, что NH/h = NL/KL = 1/5; NH = h/5; где h – высота треугольника EKL;
    h = a*v3/2; поэтому NH = a*v3/10;
    При этом HL/(EL/2) = NL/KL = 1/5; HL = a/10;
    HP = HL + LP = a/10 + a*3/5 = a*7/10;
    MN^2 = NP^2 = HP^2 + NH^2 = a^2*(v3/10)^2 + a^2*(7/10)^2 = a^2*(52/100) = a^2(13/25);
    MN = a*v13/5 = v(3/2)*v13/5 = v78/10; 

    Другое решение :))
    Треугольник KLM равносторонний, его стороны 
    a^2 = 1^2 + (1/2)^2 + (1/2)^2 = 3/2; a = v(3/2);
    KM = a*3/5; KN = a*4/5; cos(угол MKN) = cos(60°) = 1/2;
    По теореме косинусов 
    MN^2 = (a*3/5)^2 + (a*4/5)^2 – (a*3/5)*(a*4/5) = a^2*13/25; 
    MN = a*v13/5 = v78/10; 
    Вся задача решилась, и ответ получился в одну строку.
    Прошу прощения за арифметическую ошибку.

  • я неуверен в последнем ращете но докозательство равнобедрености КЕ и КL правельное. 








Геометрия

Комментарии закрыты.