В прямоугольнике ABCD AD:AB=5:3. На сторонах AB, BC, CD и DA выбраны точки E, F, M, P соответственно так, что AP:PD=2:3, EFMP – ромб. Найдите отношени

1 Январь 0001



В прямоугольнике ABCD AD:AB=5:3. На сторонах AB, BC, CD и DA выбраны точки E, F, M, P соответственно так, что AP:PD=2:3, EFMP – ромб. Найдите отношение площадей прямоугольника и ромба.

  • Из соображений симметрии FC=AP=2 и AE=CM=x (неизвестная длина)

    Ромб – четырехугольник, у которого все стороны равны:

    PE=EF=FM=MP (гипотенузы треугольников PAE, EBF, FCM, MDP)

    По теореме Пифагора



    2^2+x^2=(3-x)^2+3^2

    4+x^2=9-6x+x^2+9

    6x=14

    x=7/3

    Нашли все отрезки:

    AE=CM=7/3

    EB=MD=2/3

     

    Далее находим сумму площадей всех треугольников PAE, EBF, FCM, MDP

    St=(1/2)*2*(7/3)+(1/2)*3*(2/3)+(1/2)*2*(7/3)+(1/2)*3*(2/3)=7/3+1+7/3+1=20/3

    Площадь прямоугольника S=5*3=15

    Площадь ромба s=S-St=15-20/3=25/3

     

    Отношение площадей прямоугольника и ромба

    S/s=15/(25/3)=9/5

     

    Ответ: отношение площадей прямоугольника и ромба = 9/5

     

     









Геометрия

Комментарии закрыты.