В прямоугольную трапецию вписана окружность. Точки касания делит большее основание на отрезки 4 и 8. Найдите площадь

1 Январь 0001



в прямоугольную трапецию вписана окружность. Точки касания делит большее основание на отрезки 4 и 8. Найдите площадь 

  • Трапеция ABCD, CD – наклонная боковая сторона. 
    Радиус окружности очевидно равен 4.
    Если соединить центр О окружности с вершинами C и D, то, поскольку СО и DO – биссектрисы внутренних односторонних углов при параллельных, то они взаимно перпендикулярны. То есть треугольник COD прямоугольный, и радиус в точку касания ОМ (касания окружностью стороны CD, конечно) играет роль высоты к гипотенузе CD.
    При этом DM = 8, и СМ*DM = OM^2; (это следует из подобия треугольников OMC и OMD, OM/CM = DM/OM) и CM = 2; (ну, 2*8 = 4^2);
    AD = 12; AB = 8; BC = 4 + 2 = 6; CD = 2 + 8 = 10;
    как и полагается, AD + BC = AB + CD;
    Теперь известен периметр 12 + 8 + 6 + 10 = 36; и площадь равна 4*36/2 = 72;








Геометрия

Комментарии закрыты.