В трапеции ABCD точки K и M – середины ее оснований AB и CD соответственно. Причем DК и ВМ – биссектрисы соответствующих углов ADC и ABC. Косинус мен

1 Январь 0001



В трапеции ABCD точки K и M – середины ее оснований AB и CD соответственно. Причем DК и ВМ – биссектрисы соответствующих углов ADC и ABC. Косинус меньшего угла при нижнем основании равен 3/4. Найдите длину отрезка КМ, если периметр равен 30.

  • Поскольку DK – биссектриса угла D, то угол ADK равен углу DKA (который равен CDK), и треугольник ADK равнобедренный, AD = AK; а поскольку АK = KВ; то можно обозначить AK = KB = AD = a; 
    Точно так же легко показать, что BMC равнобедренный треугольник, и BC = CM = MD = b;
    считаем, что a > b и заданный МЕНЬШИЙ угол при основании – это угол DAB; (это взаимосвязанные утверждения, потом невозможность другого выбора будет видна из треугольника AEB, в котором из b < a следует ЕВ < AE; а значить и угол напротив меньше)
    Периметр равен 3*(a + b) = 30; поэтому a + b = 10;
    Если продлить AD, BC и KM до пересечения в точке Е (все три прямые пересекутся в одной точке, и KЕ – медиана АВЕ и подобного ему треугольника CDE), и обозначить DE = y; CE = x; то из подобия EDM и EAK следует
    y/b = (y + a)/a;
    Аналогично из подобия EMC и EKB
    x/b = (x + b)/a;
    Кроме того, очевидно и то ,что y/x = a/b; (это НЕ независимое соотношение) 
    Получается y = a*b/(a – b); x = b^2/(a – b);
    Третья сторона треугольника EDC равна 2*b, а косинус угла EDC равен 3/4;
    Если применить теорему косинусов, то
    x^2 = y^2 + (2*b)^2 – 2*(2*b)*y*(3/4);
    или 
    (b^2/(a – b))^2 = (a*b)^2/(a – b)^2 + 4*b^2 – 3*a*b^2/(a – b);
    b^4 = a^2*(a – b)^2 + 4*b^2*(a – b)^2 – 3*a*b^2*(a – b);
    (a^2 – b^2) + 4*(a – b)^2 – 3*a*(b – a) = 0;
    a + b + 4*a – 4*b – 3*a = 0;
    2*a = 3*b;
    поскольку a + b = 10; то a = 6; b = 4;
    Трапеция имеет боковые стороны 4 и 6 и основания 12 и 8.
    Если провести теперь DQ II MK, то QK = DM = 4, AK = 6; то есть AQ = 2;
    отсюда DQ^2 = 6^2 + 2^2 – 2*6*2*(3/4) = 22; ясно, что DQ = KM; поэтому
    KM = v22;
      







Геометрия

Комментарии закрыты.