В треугольник со сторонами АВ= 5, ВС=7 и АС=6 вписан круг. точка пересечения круга со стороной АС точка Д. Найти длину ВД

1 Январь 0001



в треугольник со сторонами АВ= 5, ВС=7 и АС=6 вписан круг. точка пересечения круга со стороной АС точка Д. Найти длину ВД

  • т к это вписаная окружность то AD=(5+6-7)/2=2
    тогда из теоремы косинусов AB^2+AC^2-2AB*AC*cos(A)=BA^2 => 25+36-60*cos(A)=49 => cos(A)=1/5
    снова теорема косинусов AB^2+AD^2-2AB*AD*cos(A)=BD^2 подставляем все значения и cos(A)=1/5 тоже
    25+4-2*10/5=25 => BD=5
  • Пусть точки Е F  будут точки касания окружности с сторонами , так как касательные проведенные с одной точки равны, в нашем случае AE=AD ; EB=BF ; EC=DC. Переобозначим их как x, z,y . 
    AB=x+z=5
    BC=z+y=7
    AC=x+y=6
    решим систему 
    {x+z=5
    {z+y=7
    {x+y=6

    {x=5-z
    {z+y=7
    {5-z+y=6



    {z+y=7
    {y-z=1



    {z=7-y
    {y-7+y=1
    {2y=8
    {y=4
    {z=3
    {x=2
    Мы узнали длин до точек касания , теперь найдем по теореме  косинусов сам угол ВАС. 
    7^2=5^2+6^2-2*5*6*cos(ABC)
    cosa=(49-25-36)/-60 = 1/5 

    Теперь нашу сторону ВД опять по теореме косинусов 
    BD=v(5^2+2^2-2*5*2*(1/5)) = v25 = 5
    Ответ ВД  = 5 









Геометрия

Комментарии закрыты.