Исследовать функцию на условный экстремум z=x^3-15x+12y при x-y=1

1 Январь 0001



Исследовать функцию на условный экстремум z=x^3-15x+12y при x-y=1

  • Решение. Найдем частные производные и составим систему уравнений (1):



    или

    Решая систему, получим четыре стационарные точки:

    Найдем производные 2-го порядка



    и составим дискриминант ?=AC — B? для каждой стационарной точки.

    1) Для точки : , ?=AC—B?=36-144<0. Значит в точке экстремума нет.

    2) Для точки P2: А=12, B=6, С=12; ?=144-36>0, A>0. В точке Р2 функция имеет минимум. Минимум этот равен значению функции при х=2, у=1: zmin=8+6-30-12=-28.

    3) Для точки : A= -6, B=-12, С= -6; ? = 36-144 <0. Экстремума нет.

    4) Для точки Р4: A=-12, B=-6, С=-12; ?=144-36>0. B точке Р4 функция имеет максимум, равный Zmах=-8-6+30+12=28.

    5°. ^ Условный экстремум. В простейшем случае условным экстремумом функции f(х,y) называется максимум или минимум этой функции, достигнутый при условии, что ее аргументы связаны уравнением ?(х,у)=0 (уравнение связи). Чтобы найти условный экстремум функции f(х, у) при наличии соотношения ?(х,у) = 0, составляют так называемую функцию Лагранжа

    F(x,y)=f(x,y)+ ??(x,y),

    где ? — неопределенный постоянный множитель, и ищут обычный экстремум этой вспомогательной функции. Необходимые условия экстремума сводятся к системе трех уравнений

    (2)

    с тремя неизвестными х, у, ?, из которой можно, вообще говоря, определить эти неизвестные.

    Вопрос о существовании и характере условного экстремума решается на основании изучения знака второго дифференциала функции Лагранжа

    для испытуемой системы значений х, у, ?, полученной из (2) при условии, что и связаны уравнением



    .

    Именно, функция f(х,y) имеет условный максимум, если d?F< 0, и условный минимум, если d?F>0. В частности, если дискриминант ? для функции F(х,у} в стационарной точке положителен, то в этой точке имеется условный максимум функции f(х, у), если A< 0 (или С< 0), и условный минимум, если А > О (или С>0).

    Аналогично находится условный экстремум функции трех или большего числа переменных при наличии одного или нескольких уравнений связи (число которых, однако, должно быть меньше числа переменных). Здесь приходится вводить в функцию Лагранжа столько неопределенных множителей, сколько имеется уравнений связи.









Математика

Комментарии закрыты.