В правильной четырехугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 4, а боковые ребра 8. Найти площадь сечения пирамиды плоскостью прохо

1 Январь 0001



В правильной четырехугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 4, а боковые ребра 8. Найти площадь сечения пирамиды плоскостью проходящей через точку B и середину ребра МD параллельно прямой AC. (Если не сложно, то с рисунком, хотя и за решение буду очень рад) !

  • искомое сечение –  симметричный четырехугольник  BPKL

    диагонали  PL , BK  пересекаются под углом 90 град



    по условию

    стороны основания  AB=BC=CD=AD =4

    боковые ребра  MA=MB=MC=MD =8

    точка К – середина ребра MD ;  KD = MD /2 = 8/2=4

    ABCD -квадрат

    диагональ  AC = BD =  4v2

    пересечение диагоналей  точка  F  :  BF =FD = BD/2 =4v2 /2 =2v2

    BK – медиана треугольника  MBD

    длина медианы  BK = 1/2 v(2 BM^2 +2 BD^2  - MD^2 ) =1/2 v(2*8^2 +2*(4v2)^2  - 8^2 ) =4v2

    по теореме косинусов

    cos KBD = ( KD^2 – (BK^2+BD^2) )/ (-2*BK*BD)= ( 4^2 – ((4v2)^2+(4v2)^2) )/ (-2*4v2*4v2)= 3/4

    MF – высота

    треугольник  EBF – прямоугольный

    BE = BF / cos KBD = 2v2 / 3/4 = 8v2/3

    KE = BK – BE =4v2 -8v2/3 =4v2/3

    по теореме Пифагора EF =v(BE^2 – BF^2) =v( (8v2/3)^2 – (2v2)^2) =2v14/2

    MF – высота

    треугольник  MFB – прямоугольный

    по теореме Пифагора MF =v( MB^2 -BF^2) =v( 8^2- (2v2)^2 ) =2v14

    ME =MF -EF =2v14 -2v14/2 = 2v14/2

    треугольники  MPL  ~ MCA    подобные

    PL / AC = ME /MF ; PL = AC * ME /MF = 4v2 * 2v14/2 /2v14 =2v2



    площадь   сечения(четырехугольника  BPKL)     

    Sс = PL*BK *sin

    Ответ  8









Математика

Комментарии закрыты.