Задачи на мат индукцию1+2*2*2+3*3*3+…+n*n*n=n*nn+1*n+14

1 Январь 0001



Задачи на мат индукцию
1+2*2*2+3*3*3+…+n*n*n=n*n(n+1)*(n+1)4

  • с начало  база индукций , ее  всегда нужно проверять,   просто подставим для начало   
    n=3 =>  36 справа слева так же значит верно

    теперь 1+2*2*2+3*3*3  итд можно представить ввиде 1^3+2^3+3^3…
    как известно это сумма (1+2+3)^2  => то есть ее рекурентно можно записать ввиде  (n+n+1+n+2..)^2 
    теперь  при к=1. наша база верна , теперь надо доказать при n=k+1 , то есть индуктивный переход.
    n*n(n+1)(n+1)/4 =n^2(n+1)^2/4 

    1+2^3+3^3+n^3 =n(n+1)^2/4 

    n= k+1 
    1+2^3+3^3+n^3…(n+1)^3 = n(n+1)^2/4 + (n+1)^3
    слева =>(1+2+3+…n+(n+1))^2= можно представить ввиде арифм прогрессий с d=1
    как известно формула такая 
    Sn=2a1+d(n-1)/2 *n  =2+1(n-1)/2 *n =  2+n-1/2 * n    = n(n+1)/2
    но у нас там квадрат , стало быть 
    Sn^2=(n(n+1)/2)^2 = n^2(n+1)^2/4 
    чтд







Математика

Комментарии закрыты.